Question

若函数f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：∵x∈R，f'（x）=e^x[x²+2（1-a）x-2a]
1）若f（x）在[-1，1]递减，则f'（x）≤0在[-1，1]恒成立，
∴只需x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立，
即2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立，
（1）x=-1时（1）式成立；x∈（-1，1]时，需满足，令g（x）=，
则在x∈（-1，1]恒成立，
∴g（x）在（-1，1]递增，∴，∴；
2）若f（x）在[-1，1]递增，则f'（x）≥0在[-1，1]恒成立，
但f'（-1）=-1，∴f（x）在[-1，1]不递增；
综上．
分析：先由f′（x）＞0，再根据函数f（x）在[-1，1]上为单调函数，将原问题转化为x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．