Question

20．已知z=a+bi（b≠0）
（1）写出z+$\frac{1}{z}$的实部、虚部；
（2）证明：z+$\frac{1}{z}$为实数的充要条件是|z|=1．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、实部、虚部的定义即可得出．
（2）由（1）可知：z+$\frac{1}{z}$为实数，则$b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，而b≠0，即可证明．

解答 （1）解：∵z+$\frac{1}{z}$=a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$（b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）$i，实部、虚部分别为a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，$b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
（2）证明：z+$\frac{1}{z}$为实数，则$b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，∵b≠0，可得a²+b²=1，即|z|=1．反之也成立．
∴z+$\frac{1}{z}$为实数的充要条件是|z|=1．

点评 本题考查了复数的运算法则、实部、虚部的定义、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．