Question

19．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-1，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}}$，则关于x的方程f[f（x）]+k=0给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；  
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是①②③（把所有满足要求的命题序号都填上）．

Answer 1

分析 由解析式判断出f（x）的正负，再求出f[f（x）]的解析式，根据指数函数的图象画出此函数的图象，根据方程根的几何意义和图象，判断出方程根的个数以及对应的k的范围，便可以判断出命题的真假．

解答 解：当∈[0，1）时，f（x）＜0，当∈（-∞，0）∪[1，+∞）时，f（x）＞0，
∴f[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-1，（x＜0）}\\{{x}^{4}-2{x}^{2}，（x≥1）}\\{-2{x}^{2}+2，（0≤x＜1）}\end{array}\right.$，
画出此函数的图象如下图：
∵f[f（x）]+k=0，∴f[f（x）]=-k，
由图得，当-1＜-k＜0时，方程恰有1个实根；
当-k＞2或-k=0时，方程恰有2个实根，当0＜-k≤2时，方程恰有3个实根，
故①②③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了命题的真假判断，以及方程根的根数问题，涉及到了分段函数求值，指数函数的图象及性质应用，考查了学生作图能力和转化思想．