Question

16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos2A+cos2C=2cos2B，则cosB的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简为sin²A+sin²B=2sin²C，由正弦定理可得a²+b²=2c²，由余弦定理可得c²+2abcosC=2c²，结合基本不等式可得答案．

解答 解：由cos2A+cos2B=2cos2C，
得1-2sin²A+1-2sin²B=2（1-2sin²C），即sin²A+sin²B=2sin²C，
由正弦定理可得a²+b²=2c²，
由余弦定理可得c²+2abcosC=2c²，
∴cosC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4ab}≥\frac{2ab}{4ab}=\frac{1}{2}$，（当且仅当a=b时取等号）
∴cosC的最小值为$\frac{1}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理以及基本不等式的综合运用能力．属于中档题．