Question

6．已知方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+n}$-$\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}-n}$=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（-1，3）．

Answer 1

分析 由已知可得c=2，讨论焦点在x轴上，利用4=（m²+n）+（3m²-n），解得m²=1，又（m²+n）（3m²-n）＞0，从而可求n的取值范围，若焦点在y轴上，可得无解．

解答 解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，
当焦点在x轴上时，
可得：4=（m²+n）+（3m²-n），解得：m²=1，
∵方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+n}$-$\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}-n}$=1表示双曲线，
∴（m²+n）（3m²-n）＞0，可得：（n+1）（3-n）＞0，
解得：-1＜n＜3，即n的取值范围是：（-1，3）．
当焦点在y轴上时，
可得：-4=（m²+n）+（3m²-n），解得：m²=-1，无解．
综上可得m的取值范围是（-1，3）．
故答案为：（-1，3）．

点评 本题主要考查了双曲线方程的应用，注意讨论焦点位置，考查了不等式的解法，属于基础题．