题目内容

已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足．设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．

(Ⅰ)求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；

(Ⅱ)过A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由于

　　

　　从而所求椭圆的方程是　3分

　　

　　设直线AB的方程，其中k为直线AB的斜率，依条件知k＞0．

　　由

　　根据条件可知　5分

　　设

　　又由　

　　　消去

　　令

　　由于．上是减函数．

　　从而

　　

　　而，因此直线AB的斜率的取值范围是　7分

　　(Ⅱ)上半椭圆的方程为且

　　求导可得．

　　所以两条切线的斜率分别为

　　　8分

　　切线PA的方程是

　　从而切线PA的方程为，

　　同理可得切线PB的方程为　9分

　　由

　　再由

　　　11分

　　又由(Ⅰ)知

　　因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是　12分


练习册系列答案
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（2013•湖南）已知F1，F2分别是椭圆E：
x25
+y2=1的左、右焦点F1，F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．
（2013•青岛二模）已知F1、F2分别是双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，
PF2
⊥
F1F2
，且|
PF1
|=
2
|
PF2
|，则双曲线的离心率为（　　）
已知F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
如图，已知F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率e=
1
2
，F1也是抛物线C1：y2=-4x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，且2
DF2
=
F2E
，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．
已知F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，P是双曲线的上一点，若
PF1
•
PF2
=0且|
PF1
|•|
PF2
|=3ab，则双曲线的离心率是
 
．

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