Question

【题目】已知函数，．

（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）奇函数；（2）；（3）.

【解析】

（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；
（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．

解：（1）函数为奇函数．

当时，，，

∴，

∴函数为奇函数；

（2），

当时，的对称轴为：；

当时，的对称轴为：；

∴当时，在上是增函数，

即时，函数在上是增函数；

（3）方程的解即为方程的解．

①当时，函数在上是增函数，

∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；

②当时，即，

∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，

∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，即，

∵，∴．

设，

∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，

∴，又可证在上单调增．

∴，∴；

③当时，即，

∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，

∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；

即，∵∴，

设

∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，

∴，又可证在上单调减，∴

∴；

综上：．