Question

【题目】已知函数， ， 为自然对数的底数.

（1）若函数在点处的切线为，求的值；

（2）当时，若在区间上有两个零点,，试判断， ， 的大小关系.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用导数的几何意义求出的值. (2)第（2）问，先研究函数g(x)在的单调性得到它的两个零点的范围， ， ，再作差比较和的大小，最后利用函数的图像和性质比较和的大小.

试题解析：

（1）由题意，知， .

因为，所以，即.

又因为，所以.

（2）由题意，知.

因为， ，由，得或.

当时， ，所以在区间上单调递增；

当时， ，所以在区间上单调递减；

所以的极小值为.

因为，且在区间上单调递减，所以.

又因为， ，所以存在，使得，所以存在，使得，且，所以，即.

当时， ， .

令， ，则，设，

则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，

所以，

所以在区间上恒成立，即在区间上单调递增，故，

所以当时， .

又因为， 在区间上单调递增，所以

所以.