Question

如图，四棱锥中，底面,且，与底面成角，点分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）当时，求异面直线所成的角.

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴

又∵且平面， 平面， ，

∴平面；

（Ⅱ）解：∵点分别是的中点，

∴，由（Ⅰ）知平面，∴平面，

　∴，，

　∴为二面角的平面角，

　∵底面，

　∴与底面所成的角即为，

　∴＝，

　∵为直角三角形斜边的中点，

　∴为等腰三角形，且，

　∴，∴二面角的大小为；

（Ⅲ）法１：过点作交于点，则或其补角即为异面直

　　　线所成的角，

∵为的中点,∴为为的中点, 设，则由得，又，∴　∴＝，∴，

∴由（Ⅱ）知为直角三角形，且    ，

，∴，

在直角三角形中，，

∴，

∴在三角形中，，

∴为直角三角形，为直角，

∴异面直线所成的角为．

或者用三垂线定理，首先证明DB与BC垂直也可以

因为　∴＝，又，

所以，即DB与BC垂直

法２：以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设，则，，，则

则，，，

，∴异面直线所成的角为