题目内容

已知数列an满足．
（1）求a2，a3，a4；并求证：a2m+1+2=2（a2m-1+2），（m∈N*）；
（2）设，求证：．
【答案】分析：（1）根据题意可求得a2，a3和a4，把2m+1代入题设递推式，利用诱导公式整理求得a2m+1=2a2m，同理求得a2m=a2m-1+1，进而整理求得a2m+1+2=2（a2m-1+2）
（2）根据（1）可判断出数列a2m-1+2是公比为2的等差数列，进而求得其通项公式，求得a2m-1，则a2m可得，进而分n为奇数和偶数求得其通项公式，代入bn中利用不等式的传递性整理，最后利用等比数列的求和公式证明原式．
解答：解：（1）a2=（1+0）a1+1=2，a3=（1+1）a2+0=4，a4=（1+0）a3+1=5，
证明：a2m+1==2a2m，
a2m=a2m-1+1，则a2m+1=2a2m-1+2，
∴a2m+1+2=2（a2m-1+2）
证明：（2）由（1）可得：，数列a2m-1+2是公比为2的等差数列，
a2m-1+2=（a1+2）2m-1得：a2m-1=-2+3•2m-1（m∈N*），
，
所以：
而当n≥2时，-1+3•2n-2≥2，故
则，
从而
=
点评：本题主要考查了数列与三角函数，不等式的综合运用．考查了学生分析推理和运算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列an满足a1=2，
an+1
2an
=1+
1
n
；
（Ⅰ）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
an
n
}的前n项和为Sn，试比较an-Sn与2的大小．
已知数列an满足a1=1，n≥2时，
an
an-1
=
2-3an
an-1+2
．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）求{
3n
an
}的前n项和．
已知数列an满足a1+a2+…+an=n2（n∈N*）．
（1）求数列an的通项公式；
（2）对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r）使
1
ak
，  
1
ap
，  
1
ar
成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为an1，an2，an3．
已知数列an满足a1=
1
4
，an=
an-1
(-1)nan-1-2
(n≥2，n∈N)
（1）求数列an的通项公式an；
（2）设bn=
1
a
2
n
，求数列bn的前n项和Sn；
（3）设cn=ansin
(2n-1)π
2
，数列cn的前n项和为Tn．求证：对任意的n∈N*，Tn＜
4
7
．
已知数列an满足a1=1，an+1=(1+cos2
nπ
2
)an+sin2
nπ
2
，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4；并求证：a2m+1+2=2（a2m-1+2），（m∈N*）；
（2）设bn=
a2n
a2n-1
，Sn=b1+b2+…+bn，求证：Sn＜n+
5
3
．

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