Question

已知数列a_n满足a1=

1

4

，an=

an-1

(-1)nan-1-2

(n≥2，n∈N)
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）设bn=

1

a 2 n

，求数列b_n的前n项和S_n；
（3）设cn=ansin

(2n-1)π

2

，数列c_n的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N*，Tn＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）由题意知

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，所以

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，再由

1

a1

+(-1)=3，知数列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，由此可求出数列a_n的通项公式a_n．
（2）由题设知b_n=（3×2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1，所以Sn=9•

1•(1-4n)

1-4

+6•

1•(1-2n)

1-2

+n
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）由题意知an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

，sin

(2n-1)

2

=(-1)n-1，∴cn=

1

3•2n-1+1

，Tn=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2] ＜

11

28

+

1

6

＜

4

7

，再由T₁＜T₂＜T₃，知对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

解答：解：（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，所以数列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，
∴an=

(-1)n-1

3×2n-1+1

．
（2）b_n=（3×2^n-1+1）²
=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
∴Sn=9•

1•(1-4n)

1-4

+6•

1•(1-2n)

1-2

+n
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）证明：由（1）知an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

，sin

(2n-1)

2

=(-1)n-1，∴cn=

1

3•2n-1+1

，当n≥3时，则Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

++

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

++

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．（12分）

点评：本题考查数列的应用和性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，注意积累解题方法．