题目内容
在数列{an} 中，已知a1=
，
，bn+2=3
（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn} 是等差数列；
（Ⅲ）设数列{cn} 满足cn=an•bn，求{cn} 的前n项和Sn．
【答案】分析：（Ⅰ）由a1=
，
，能求出数列{an} 的通项公式．
（Ⅱ）由bn+2=3
（n∈N*），
，知
=3n-2，由此能证明数列{bn}是等差数列．
（Ⅲ）由
，bn=3n-2，n∈N*，cn=an•bn，
，由此利用错位相减法能求出{cn} 的前n项和Sn．
解答：（Ⅰ）解：∵a1=
，
，
∴数列{an}是首项为
，公比为
的等比数列，
∴
，n∈N*．
（Ⅱ）证明：∵bn+2=3
（n∈N*），
，
∴
=3n-2，
∴b1=1，公差d=3，
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．
（Ⅲ）解：∵
，bn=3n-2，n∈N*，cn=an•bn，
∴
，
∴
，①
=1×
+4×（
）3+7×（
）4+…+（3n-5）×（
）n+（3n-2）×（
）n+1，②
①-②，得
-（3n-2）×（
）n+1
=
-（3n-2）×（
）n+1-（
）n+1，
∴
，n∈N*．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
，，能求出数列{an} 的通项公式．（Ⅱ）由bn+2=3
（n∈N*），，知=3n-2，由此能证明数列{bn}是等差数列．（Ⅲ）由
，bn=3n-2，n∈N*，cn=an•bn，，由此利用错位相减法能求出{cn} 的前n项和Sn．解答：（Ⅰ）解：∵a1=
，，∴数列{an}是首项为
，公比为的等比数列，∴
，n∈N*．（Ⅱ）证明：∵bn+2=3
（n∈N*），，∴
=3n-2，∴b1=1，公差d=3，
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．
（Ⅲ）解：∵
，bn=3n-2，n∈N*，cn=an•bn，∴
，∴
，①=1×+4×（）3+7×（）4+…+（3n-5）×（）n+（3n-2）×（）n+1，②①-②，得
-（3n-2）×（）n+1=
-（3n-2）×（）n+1-（）n+1，∴
，n∈N*．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
学练快车道快乐假期暑假作业新疆人民出版社系列答案
浙大优学小学年级衔接导与练浙江大学出版社系列答案
小学暑假作业东南大学出版社系列答案
津桥教育暑假拔高衔接广东人民出版社系列答案
波波熊暑假作业江西人民出版社系列答案
相关题目