Question

一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量ξ表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为

1

6

．
（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；
（Ⅱ）求ξ的分布列与期望．

Answer 1

分析：（I）由题意设袋中黑球的个数为n个，由于p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化简即可得到n的方程求解即可；
（II）由题意由于随机变量ξ表示取2个球的总得分，根据题意可以得到ξ=0，1，2，3，4，利用随机变量的定义及等可能事件的概率公式求出每一个值下的概率，并列出其分布列，有期望的定义即可求解．

解答：解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n个，p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，化简得：n²-3n-4=0，解得n=4 或n=-1 （舍去），即袋子中有4个黑球
（Ⅱ）依题意：ξ=0，1，2，3，4 p(ξ=0)=

1

6

，p(ξ=1)=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，p(ξ=2)=

C 2 3 + C 1 2 • C 1 4

C 2 9

=

11

36

，p(ξ=3)=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，p(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

ξ	0	1	2	3	4
P	1 6	1 3	11 36	1 6	1 36

∴ξ 的期望为 Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

点评：此题考查了学生让那个对于题意的正确理解的能力，还考查了等可能事件的概率公式及离散型随机变量的定义与分布列，并应用分布列求出随机变量的期望．