Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立．

（1）判断在上的单调性，并证明；

（2）解不等式：；

（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）或或．

【解析】

试题分析：（1）由单调性和奇偶性的定义可得,可证在上单调递增；（2）由（1）得,再由定义域解得的取值范围；（3）由（1）可得 在有最大值,不等式转化为对恒成立,令,分类讨论:可得结论．

试题解析： （1）任取，且，则

∵为奇函数，∴

由已知，又，

∴，即．

∴在上单调递增．

（2）∵在上单调递增．

∴，∴

故原不等式的解集为．

（3）∵，在上单调递增．

∴在上，，

问题转化为，

即对恒成立，

设，

①若，则，对恒成立，

②若，则为的一次函数，

若对恒成立，

必须，且，∴或

综上，实数的取值范围是或或．