Question

【题目】已知椭圆C：（）的左，右焦点为，，且焦距为，点，分别为椭圆C的上、下顶点，满足.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点，椭圆C上的两个动点M，N满足，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设，，，结合已知的向量表达式，根据平面向量加法的几何意义可知四边形为菱形，结合已知条件进行求解即可；

（2）根据直线是否存在斜率进行分类讨论.设直线的方程，与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数的关系，结合两平面向量垂直的性质进行求解即可.

（1）设，，，

由可知四边形为菱形且，

故，解得，故，

椭圆C的方程为.

（2）当直线斜率存在时，设：，，.

联立消去y得

，

，

，，

由，则，

即，

整理得，

将，代入整理得，

即，

解得或.

当时，直线：过点E，舍去；

当时，直线：过定点.

当直线斜率不存在时，不妨设，，

则由，则，

即，即，

即，解得（舍去）或，也过定点.

综上，直线过定点.