Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=n-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=-2na_n+2n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出a₁，然后利用a_n=S_n-S_n-1得到a_n与a_n-1的关系，化简为数列{a_n-1}中任意相邻两项之间的关系，通过等比数列的定义证明数列是等比数列；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出数列的通项公式，结合c_n=-2na_n+2n，求出数列{c_n}的前n项和为T_n的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可求证：T_n＜4．

解答：解：（Ⅰ）∵n=1时，S₁=1-a₁，即a₁=1-a₁，a₁=

1

2

．
∵S_n=n-a_n，∴S_n-1=n-1-a_n-1，n＞1．
两式相减，得a_n=

1

2

a_n-1+

1

2

．…（3分）
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1）．
从而{a_n-1}为等比数列，首项a₁-1=-

1

2

，公比为

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=-

1

2

(

1

2

)n-1．从而a_n=-(

1

2

)n+1．…（8分）
∵c_n=-2na_n+2n，∴Cn=-2n(-(

1

2

)n+1)+2n=-2n(

1

2

)n，
∴Tn=2[

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n]．…（10分）
从而

1

2

Tn=2[ (

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1]，
两式相减，得

1

2

Tn=2[(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]．
Tn=4×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-4n×(

1

2

)n+1=4-(2n+4)(

1

2

)n．
∴T_n＜4．…（13分）

点评：证明数列是等差数列还是等比数列，常用数列的定义证明，在第二问中，错位相减法是数列求和的常用方法，注意构造法在数列中的应用．