Question

已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，则角A的大小为

 

．

Answer 1

分析：根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式得-2sinCcosA=sin（A+B），再利用三角函数的诱导公式算出sin（A+B）=sinC＞0，从而得出cosA=-

1

2

，结合A∈（0，π）可得A的大小．

解答：解：∵

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，∴根据正弦定理，得

cosA

cosB

=-

sinA

sinB+2sinC

，
即sinBcosA+2sinCcosA=-cosBcosA，
整理得-2sinCcosA=sinBcosA+cosBcosA=sin（A+B），
∵在△ABC中，sin（A+B）=sin（π-C）=sinC＞0，
∴-2sinCcosA=sinC，约去sinC得cosA=-

1

2

．
又∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

点评：本题给出三角形满足的边角关系式，求角A的大小．着重考查了两角和的正弦公式、特殊角的三角函数值与正余弦定理等知识，属于中档题．