Question

（2012•安徽模拟）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意m＞0，n∈R有f（mⁿ）=nf（m），且当0＜x＜1时f（x）＜0
（1）求f（1）；
（2）证明：当x＞1时f（x）＞0；
（3）证明：函数f（x）在（0，+∞）上递增．

Answer 1

分析：（1）利用赋值，取m=1，n=2可求f（1）
（2）设x＞1，则0＜

1

x

＜1，结合已知可得f(

1

x

)＜0，由f（mⁿ）=nf（m），可得f(

1

x

)=f(x-1)=-f(x)＜0可证
（3）由f（m^α+β）=f（m^α×m^β）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（m^α）+f（m^β），可得f（xy）=f（x）+f（y），设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

×x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0，根据单调性的定义可证

解答：（1）解：取m=1，n=2得f（1²）=2f（1），
∴f（1）=0
（2）证明：设x＞1，则0＜

1

x

＜1，又0＜x＜1时，f（x）＜0，
∴f(

1

x

)＜0
∵m＞0，n∈R有f（mⁿ）=nf（m），
∴f(

1

x

)=f(x-1)=-f(x)＜0
∴f（x）＞0
即x＞1时，f（x）＞0
（3）证明：∵f（m^α+β）=f（m^α×m^β）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（m^α）+f（m^β），
记m^α=x＞0，m^β=y＞0，则f（xy）=f（x）+f（y），
设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

×x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在（0，+∞）上单增．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，赋值法是求解抽象函数的函数值的常用的方法，其中在解答抽象函数的关键是配凑