Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．

（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，

∴ABFD为矩形，AB⊥BF．

∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF

∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF

（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD

又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．

以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，

则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1， ）

平面BCD的法向量 ，

设平面EBD的法向量为 ，

由 ，即 ，取y=1，得x=2，z=

则 ．

所以 ．

因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ，

所以cosθ∈ ，即 ．

由 得：

由 得： 或 ．

所以a的取值范围是

【解析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．