Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机取一点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（　　）

• A．1-

  3

  32

  π
• B．

  3

  32

  π
• C．1-

  1

  6

  π
• D．

  1

  6

  π

Answer 1

分析：根据题意，分析可得，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，计算可得其体积，易得正方体的体积；由几何概型公式，可得点P到点A的距离小于等于1的概率，借助对立事件概率的性质，计算可得答案．

解答：解：根据题意，分析可得，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，
其体积为V₁=

1

8

×

4π•13

3

=

π

6

；
正方体的体积为1³=1，
则点P到点A的距离小于等于1的概率为：

π 6

1

=

π

6

，
故点P到点A的距离大于1的概率为1-

π

6

，
故选C．

点评：本题考查几何概型的计算，关键在于掌握正方体的结构特征与正方体、球的体积公式．