Question

如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若点是的中点，求证：平面；
（II）若点为线段的中点，求二面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）证明：设，交于点，连接，易知为的中位线，
故，又平面，平面，得平面．
（Ⅱ）解：过做交于，过作交于,
由已知可知平面，，且,
过作交于,连接,由三垂线定理可知：为所求角
如图，平面,,由三垂线定理可知，
在中，斜边，，得,
在中，,得,由等面积原理得，B到CE边的高为
则;  在中，,则，
故：
法2建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,;,
（I）设平面的法向量为，
则即；推出即, 平面。
（II）,故

试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,;,
（I）设平面的法向量为，
则即；即
令，则；又,故即,而平面所以平面。
（II）设平面的法向量为，,
则即；即
令，则；由题可知平面的法向量为
故,故
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。