Question

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．
（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径．
（Ⅱ）求证：AG•EF=CE•GD．

Answer 1

分析：（ I）要证AC为⊙O的直径，只需证出=90°即可．∠ABC连接DG，AB，根据圆周角定理得出∠ABD=∠AGD=90°后，则可得到证明．
（Ⅱ）要证AG•EF=CE•GD，可考虑证明△AGD∽△ECF．两三角形均为直角三角形，再通过∠GAD=∠GAB=∠BCE，则可证出△AGD∽△ECF．

解答：证明：（ I）连接DG，AB
∵AD为⊙M的直径
∴∠ABD=∠AGD=90°
在⊙O中，∠ABC=∠AEC=∠ABD=90°
∴AC为⊙O的直径．    …（4分）
（ II）∵∠AEC=90°
∴∠CEF=90°
∵点G为弧BD的中点
∴∠GAD=∠GAB，
在⊙O中，∠BCE=∠GAB
∴△AGD∽△ECF
∴AG•EF=CE•GD…（10分）

点评：本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理．在以圆为背景的条件下，要充分利用圆的几何性质、圆周角定理，弦切角定理等，寻求相等角实现转化与代换．