Question

（本题满分14分）如图, 在直三棱柱中，，,
，点是的中点．

⑴求证：；
⑵求证：平面；
⑶求二面角的正切值．

Answer 1

⑴见解析；⑵见解析；⑶

本试题主要考查了立体几何中的线线垂直的证明，以及线面平行的判定和二面角的平面角的求解的综合运用。
（1）由于已知中三棱柱的性质和三角形可知，得到结论。
（2）利用线线平行来判定得到线面平行的证明。
（3）由于二面角的平面角可以建立空间直角坐标系，求解平面的法向量来表示夹角得到二面角 平面角的求解。
证明：⑴、在直三棱柱，
∵底面三边长，，，∴ ，………1分
又直三棱柱中，，且,
，∴．……………3分
而，∴；…………………………4分
⑵、设与的交点为，连结，…5分
∵ 是的中点，是的中点，∴ ，………7分
∵ ，，∴.…8分
⑶、过点C作CF⊥AB于F，连接C₁F.…………9分
由已知C₁C垂直平面ABC，
则∠C₁FC为二面角的平面角。………11分
在Rt△ABC中，，,,则…………12分
又,∴ ，……………13分
∴二面角的正切值为．…………………………14分
（另：可以建立空间直角坐标系用向量方法完成，酌情给分，过程略）