Question

已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）过点P（0，-2）的直线交抛物线C₁于A，B两点，设抛物线C₁在点A，B处的切线交于点M，
（ⅰ）求点M的轨迹C₂的方程；
（ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C₂上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率k_AQ，k_BQ，k_PQ均存在时，试判断是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义，可求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）直线方程与抛物线方程联立，求得k的范围，求出抛物线在A，B处的切线方程，联立可求点M的轨迹C₂的方程；
（ⅱ）表示出，利用韦达定理，化简可得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，则p=2，…（3分）
所以抛物线C₁的方程为x²=4y．                   …（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）设过点P（0，-2）的直线方程为y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得x²-4kx+8=0．
由△＞0，得或，x₁+x₂=4k，x₁x₂=8．…（7分）
抛物线C₁在点A，B处的切线方程分别为，，
即，，
由得
所以点M的轨迹C₂的方程为或）．…（10分）
（ⅱ）设Q（m，2）（），
则，．…（11分）
所以=…（12分）
==
====2，
即为常数2．                        …（15分）
点评：本题考查抛物线的定义与标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．