题目内容

已知抛物线C1：x2=4y和圆C2：x2+(y-1)2=1，直线l过C1焦点，从左到右依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则
AB
•
CD
=
1
1
．
分析：设抛物线的焦点为F，则|AB|=y1，|CD|=y2，从而可得
AB
•
CD
=|AB||CD|=y1y2，设出直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得到结论．
解答：解：设抛物线的焦点为F，A的坐标为（x1，y1），D的坐标为（x2，y2）；
则|AB|=|AF|-|BF|=y1+1-1=y1，
同理|CD|=y2，
∴
AB
•
CD
=|AB||CD|=y1y2，
设直线l的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，可得x2-4kx-4=0
∴x1+x2=4k，x1x2=-4
∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1
∴
AB
•
CD
=1
故答案为：1
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
已知抛物线C1：x2+by=b2经过椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C1上，
（1）求C1和C2的方程．
（2）有哪几条直线与C1和C2都相切？（求出公切线方程）
（2012•台州一模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）过点P（0，-2）的直线交抛物线C1于A，B两点，设抛物线C1在点A，B处的切线交于点M，
（ⅰ）求点M的轨迹C2的方程；
（ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C2上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率kAQ，kBQ，kPQ均存在时，试判断
kPQ
kAQ
+
kPQ
kBQ
是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
已知抛物线C1：x2=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B，交C1的准线于C，D，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的方程为（　　）
A、x2+(y-
1
2
)2=3
B、x2+(y-
1
2
)2=4
C、x2+（y-1）2=12
D、x2+（y-1）2=16

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网