题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围．

答：（1）∵函数 $\text{[math]}$ ，令 x²-3=t，则 x²=t+3．
则有 f（t）= $\text{[math]}$ ，故 f（x）= $\text{[math]}$ ．
再由 $\text{[math]}$ ＞0 解得-3＜x＜3，故函数f（x）的定义域为（-3，3）．
由f（-x）= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）当a＞1时，由f（x）= $\text{[math]}$ ≥log_a2x，可得 $\text{[math]}$ ≥2x＞0，
解得 0＜x≤1，或 $\text{[math]}$ ．
当0＜a＜1时，由f（x）= $\text{[math]}$ ≥log_a2x，可得 0＜ $\text{[math]}$ ≤2x，
解得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令 x²-3=t，代入函数的解析式求得 f（t）= $\text{[math]}$ ，f（x）= $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ＞0 求得函数的定义域关于原点对称，再由f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）当a＞1时，由不等式可得 $\text{[math]}$ ≥2x＞0，由此求得x的取值范围．当0＜a＜1时，由由不等式可得 0＜ $\text{[math]}$ ≤2x，由此求得x的取值范围．
点评：本题主要考查判断函数的奇偶性的方法和步骤，解对数不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．