Question

2．如图，矩形ABCD中，E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABCD沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF．
（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若四边形ECDF为正方形且平面MNEF⊥平面ECDF，求证：平面NED⊥平面NFC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明NC∥平面MFD；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面NED⊥平面NFC．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形MNEF，EFDC都是平行四边形，
∴MN∥EF，EF∥CD，MN=EF，EF=CD，
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴NC∥MD，
∵NC?平面MFD，MD?平面MFD，
∴NC∥平面MFD；
（Ⅱ）连结ED，
∵平面NMNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
∴NE⊥平面ECDF，
∴FC⊥NE，
∵四边形ECDF为正方形，
∴FC⊥ED，
∵NE∩ED=E，EN?平面NED，ED?平面NED，
∴FC⊥平面NFC，
∵FC?平面NFC，
∴平面NED⊥平面NFC．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．