Question

2．已知F₁（-1，0）和F₂（1，0）是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点，且点$P（1\;，\;\frac{3}{2}）$在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当△OMN面积取最小值时，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁（-1，0）和F₂（1，0）是椭圆的两个焦点，且点$P（1\;，\;\frac{3}{2}）$在椭圆C上，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质，结合已知条件能求出直线方程．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）∵F₁（-1，0）和F₂（1，0）是椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点，且点$P（1\;，\;\frac{3}{2}）$在椭圆C上，
∴依题意，c=1，又$2a=\sqrt{{{（1+1）}^2}+{{（\frac{3}{2}-0）}^2}}+\frac{3}{2}=\frac{8}{2}=4$，故a=2．
所以b²=3．
故所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，整理得m²=4k²+3．  …（6分）
由条件可得k≠0，$M（-\frac{m}{k}\;，\;0）$，N（0，m）．
所以${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{OM}|•|{ON}|=\frac{1}{2}|m|•|{\frac{m}{k}}|=\frac{m^2}{2|k|}$．          ①
将m²=4k²+3代入①，得${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•\frac{{4{k^2}+3}}{|k|}=\frac{1}{2}（4|k|+\frac{3}{|k|}）$．
因为|k|＞0，所以${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}（4|k|+\frac{3}{|k|}）≥2\sqrt{3}$，
当且仅当$|k|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时等号成立，S_△OMN有最小值$2\sqrt{3}$．
因为m²=4k²+3，所以m²=6，又m＞0，解得$m=\sqrt{6}$．…（11分）
故所求直线方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\sqrt{6}$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\sqrt{6}$． …（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档硅化木，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质的合理运用．