题目内容

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点到直线x-y+3$\sqrt{2}$=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为$\sqrt{10}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，连接椭圆短轴端点A与椭圆上不同于A的两点M，N，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于P，Q两点，且PQ恰好经过圆心O，求△AMN面积的最大值．

分析 （1）记椭圆的右焦点为F（c，0），从而可得c=2$\sqrt{2}$，从而求椭圆C的方程；
（2）由题意知A（0，-1），AM⊥AN，而直线AN的方程为y=kx-1（k＞0），与椭圆联立化简解得x=0或x=$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，从而可得|AN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，|AM|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，从而化简可得S=$\frac{1}{2}$|AN|•|AM|=162•$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，再令f（k）=$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，从而求导确定函数的单调性，从而求最值．

解答 解：（1）记椭圆的右焦点为F（c，0），
则$\frac{|c+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5，
解得，c=2$\sqrt{2}$，
又∵$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴a=3，b=1；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y2=1；
（2）由题意知，A（0，-1），AM⊥AN，
设直线AN的方程为y=kx-1（k＞0）；与$\frac{{x}^{2}}{9}$+y2=1联立化简可得，（9k2+1）x2-18kx=0，
解得，x=0或x=$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，
设直线AM的方程为y=-$\frac{1}{k}$x-1（k＞0）；
同理可得，x=0或x=-$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，
故|AN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，|AM|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AN|•|AM|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$=162•$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，
令f（k）=$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，
则f′（k）=$\frac{（3{k}^{2}+1）（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）-（{k}^{3}+k）（36{k}^{3}+164k）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{（1-{k}^{2}）（9{k}^{4}-46{k}^{2}+9）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{9（1-{k}^{2}）（{k}^{2}-\frac{23-8\sqrt{7}}{9}）（{k}^{2}-\frac{23+8\sqrt{7}}{9}）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{-9（k+1）（k+\frac{4-\sqrt{7}}{3}）（k+\frac{4+\sqrt{7}}{3}）（k-\frac{4-\sqrt{7}}{3}）（k-1）（k-\frac{4+\sqrt{7}}{3}）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$，
故f（k）在（0，$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$）上是增函数，在（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，1）上是减函数，在（1，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）上是增函数，在（$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，+∞）上是减函数；
而当k=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$时，S=162•$\frac{\frac{4-\sqrt{7}}{3}（\frac{23-8\sqrt{7}}{9}+1）}{（9•\frac{23-8\sqrt{7}}{9}+1）（9+\frac{23-8\sqrt{7}}{9}）}$=$\frac{27}{8}$，
当k=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$时，S=162•$\frac{\frac{4+\sqrt{7}}{3}（\frac{23+8\sqrt{7}}{9}+1）}{（23+8\sqrt{7}+1）（9+\frac{23+8\sqrt{7}}{9}）}$=$\frac{27}{8}$，
故△AMN面积的最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．

练习册系列答案
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