题目内容
已知向量
=(cosB，cosA)，
=(sinA，-sinB)，
•
=
sinC，其中A、B、C分别是△ABC的三内角．
（1）求
的值；
（2）求tan（A-B）的最大值．
| h |
| k |
| h |
| k |
| 3 |
| 5 |
（1）求
| tanA |
| tanB |
（2）求tan（A-B）的最大值．
分析：（1）由数量积和三角函数公式可得sinAcosB=4sinBcosA，由同角三角函数的基本关系可得
=4；（2）由（1）知：tanA=4tanB，必有tanB＞0，又可得tan（A+B）=
，由基本不等式的知识可得．
| tanA |
| tanB |
| 3 | ||
4tanB+
|
解答：解：（1）由
•
=
sinC可得sinAcosB-sinBcosA=
sinC
又∵A+B+C=π，sinC=sin（A+B），
化简得：sinAcosB=4sinBcosA，变形得
=4
（2）由（1）知：tanA=4tanB，必有tanB＞0，
否则若tanB＜0，则tanA＜0，角AB均为钝角，与三角形的内角矛盾，
∴tan(A-B)=
=
=
由基本不等式可得
≤
=
当且仅当4tanB=
，即tanB=
时，tan（A+B）=
取最大值
| h |
| k |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
又∵A+B+C=π，sinC=sin（A+B），
化简得：sinAcosB=4sinBcosA，变形得
| tanA |
| tanB |
（2）由（1）知：tanA=4tanB，必有tanB＞0，
否则若tanB＜0，则tanA＜0，角AB均为钝角，与三角形的内角矛盾，
∴tan(A-B)=
| tanA-tanB |
| 1+tanAtanB |
| 3tanB |
| 1+4tan2B |
| 3 | ||
4tanB+
|
由基本不等式可得
| 3 | ||
4tanB+
|
| 3 | ||||
2
|
| 3 |
| 4 |
当且仅当4tanB=
| 1 |
| 4tanB |
| 1 |
| 2 |
| 3 | ||
4tanB+
|
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查数量积与三角函数的知识，涉及两角和与差的正切函数以及基本不等式，属中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
=（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围。
)，1)，b=(cos(x+
，
)，c=(cos(x+
)，0)，f(x)=a·b，g(x)=a·c.