Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx．
（1）当x∈[

π

2

，π]时，若sinx=

4

5

，求函数f（x）的值；
（2）当x∈[

π

2

，π]时，求函数h(x)=3sin(

π

6

-x)-cos(2x-

π

3

)的值域；
（3）把函数y=f（x）的图象按向量

m

平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出|

m

|最小的向量

m

的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系 由sinx求出cosx，从而求得f（x）的值．
（2）根据x的范围，求得角x-

π

6

的范围，可得sin（x-

π

6

）的范围，利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式，
利用二次函数的性质求的h（x）的值域．
（3）根据向量平移得到g（x）的解析式 g(x)=2sin(x-a-

π

6

)+b，要使g（x）是偶函数，即要-a-

π

6

=kπ+

π

2

，
 求得a的解析式，通过||

m

|的解析式可得当k=-1时，|

m

|最小．

解答：解：（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

， π]，∴cosx=-

3

5

，
f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx=

3

sinx-cosx=

4

5

3

+

3

5

．
（2）∵

π

2

≤x≤π，∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(x-

π

6

)≤1，
h(x)=3sin(

π

6

-x)-cos(2x-

π

3

)=2[sin(x-

π

6

)-

3

4

]2-

17

8

∈[-

17

8

，-2]．
（3）设

m

=(a，b)，所以g(x)=2sin(x-a-

π

6

)+b，
要使g（x）是偶函数，即要-a-

π

6

=kπ+

π

2

，即a=-kπ-

2π

3

，|

m

|=

a2+b2

=

(kπ+ 2π 3 )2+b2

，
当k=-1时，|

m

|最小，此时a=

π

3

，b=0，即向量

m

的坐标为(

π

3

，0)．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，判断g（x）是偶函数 的条件，
是解题的难点．