Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）证明PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的判定，证明PA⊥DA，PA⊥DC即可；
（2）设AC∩BD=O，证明AC⊥平面PBD，从而线段AO的长即为点A到平面PBD的距离；
（3）过点O作OE⊥PB于点E，连接AE，可证AEO是二面角A-PB-D的平面角，在Rt△AEO中，可求二面角A-PB-D的大小为60°．

解答：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC=

2

a，
∴PA²=PD²+DA²，PC²=PD²+DC²，
∴PA⊥DA，PA⊥DC（2分）
∵DA∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD（3分）
（2）解：设AC∩BD=O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，（4分）
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC    
∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD（5分）
∴线段AO的长即为点A到平面PBD的距离（6分）
∴AO=

1

2

AC=

2

2

a
∴点A到平面PBD的距离为

2

2

a（7分）
（3）解：过点O作OE⊥PB于点E，连接AE
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂线定理得AE⊥PB
∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角（9分）
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂线定理得PA⊥AB
在Rt△PAB中，PB= 

3

a，∴AE=

PA•AB

PB

=

6

3

（10分）
∴在Rt△AEO中，sin∠AEO=

AO

AE

=

3

2

（11分）
∴二面角A-PB-D的大小为60°（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定定理，正确作出面面角．