Question

（2009•临沂一模）如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

1

2

AA₁，∠ACB=90°，G为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；
（Ⅱ）求平面ABC与平面A₁GC所成锐二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）证明CG⊥平面A₁GC₁，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；
（II）（法一）建立如图所示的空间坐标系，求出平面ABC与平面A₁CG的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（法二）延长A₁G、AB相交于P，过A作AF⊥PC交PC延长线于点F，连接A₁F，证明∠AFA₁为平行面ABC于平面A₁CG所成二面角的平面角，即可得出结论．

解答：（I）证明：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有A₁C₁⊥CC₁．
∵∠ACB=90°，∴A₁C₁⊥C₁B₁，即A₁C₁⊥平面C₁CBB₁，
∵CG?平面C₁CBB₁，∴A₁C₁⊥CG．┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
在矩形C₁CBB₁中，CC₁=BB₁=2BC，G为BB₁的中点，
CG=

2

BC，C₁G=

2

BC，CC₁=2BC
∴∠CGC₁=90，即CG⊥C₁G┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
而A₁C₁∩C₁G=C₁，
∴CG⊥平面A₁GC₁．
∴平面A₁CG⊥平面A₁GC₁．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（II）解：（法一）由于CC₁平面ABC，∠ACB=90°，建立如图所示的空间坐标系，设AC=BC=

1

2

CC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0）A₁（a，0，2a），G（0，a，a）．
∴

CA

=（a，0，2a），

CG

=（0，a，a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
设平面A₁CG的法向量n₁=（x₁，y₁，z₁），
由

CG •n1=0 CA1 •n1=0

得

ax1+2az1=0 ay1+az1=0

令z₁=1，n₁=（-2，-1，1）．┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
又平面ABC的法向量为n₂=（0，0，1）┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）
设平面ABC与平面A₁CG所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=|

n1•n2

|n1||n2|

|=

1

6

=

6

6

┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
即平面ABC与平面A₁CG所成锐二面角的平面角的余弦值为

6

6

．┉┉┉（12分）
（法二）延长A₁G、AB相交于P，过A作AF⊥PC交PC延长线于点F，连接A₁F
∵AA₁⊥平面ABC，AF⊥PC，∴A₁F⊥PF
∴∠AFA₁为平面ABC与平面A₁CG所成二面角的平面角．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
由（I）知CG⊥A₁G，∴△PGC～△PFA₁，
设AC=BC=a，∴CG=

2

a，A1G=GP=

3

a，CP=

5

a
由

CG

A1F

=

CP

A1P

，
得A1F=

CG．A1P

CP

=

2 a•2 3 a

5

=

2 30 a

5

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）AF=

A1F2-A1A2

=

24 5 a2-4a2= 2 5 5

a．
∴cos∠AFA1=

AF

A1F

=

2 5 5 a

2 30 5 a

=

6

6

．┉┉┉┉┉（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．