题目内容

已知
a
，
b
是非零向量且满足(3
a
-
b
)⊥
a
，(4
a
-
b
)⊥
b
，则
a
与
b
的夹角是（　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
2π
3
D、
5π
6
分析：利用向量垂直数量积为0列出两个等式；利用向量数量积的运算律将等式展开，得到两个向量模的关系及模与数量积的关系；利用向量的数量积公式表示出向量夹角的余弦，求出夹角．
解答：解：设
a
与
b
的夹角是α
∵(3
a
-
b
)⊥
a
，(4
a
-
b
)⊥
b

∴(3
a
-
b
)•
a
=0，(4
a
-
b
)•
b
=0
即3
a
2-
a
•
b
=0；4
a
•
b
-
b
2=0
a
•
b
=3
a
2；
b
2=12
a
2
∴cosα=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
3
a
2
2
3 
a
2
=
3
2

∴α=
π
6

故选A
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量数量积的运算律、利用向量的数量积公式表示向量夹角的余弦．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
，
b
是非零向量，满足
a
=λ
b
，
b
=λ
a
（λ∈R），则λ=（　　）
A、-1B、±1C、0D、0
已知
a
，
b
是非零向量，且
a
，
b
夹角为
π
3
，则向量
p
=
a
丨
a
丨
+
b
丨
b
丨
的模为
3
3
．
已知
a
，
b
是非零向量，且满足（
a
-2
b
）⊥
a
，（
b
-2
a
）⊥
b
，则
a
与
b
的夹角是
60
60
°．
已知
a
，
b
是非零向量，t为实数，设
u
=
a
+
tb
．
（1）当|
u
|取最小值时，求实数t的值；
（2）当|
u
|取最小值时，求证
b
⊥（
a
+
b
）．
已知
a
、
b
是非零向量，若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，则
a
，
b
应满足条件
 
．

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