Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x-a}$（x＞a，a为非零常数）的最小值为6，则实数a的值为1．

Answer 1

分析 x＞a，就是x-a＞0，把f（x）的分子分组推出=（x-a）+$\frac{{a}^{2}+3}{x-a}$+2a，利用基本不等式求出最小值，最小值为6，再求a的值．

解答 解：∵x＞a，∴x-a＞0．
f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x-a}$=$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}+{a}^{2}+3}{x-a}$=
=（x+a）+$\frac{{a}^{2}+3}{x-a}$=（x-a）+$\frac{{a}^{2}+3}{x-a}$+2a
≥2$\sqrt{（x-a）•\frac{{a}^{2}+3}{x-a}}$+2a=2$\sqrt{{a}^{2}+3}$+2a．
当且仅当x=a+$\sqrt{{a}^{2}+3}$时，取“=”，
故f（x）_min=2$\sqrt{{a}^{2}+3}$+2a=6，
解得a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查分式不等式的解法，基本不等式求函数的最值及其几何意义，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．