题目内容

在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液
1
4
a升，搅匀后再倒出溶液
1
4
a升，这叫做一次操作．
（1）设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn（每次注入的溶液都是p%），计算b1，b2，b3，并归纳出bn的计算公式（不要求证明）
（2）设p＞q＞r，且p-r=2（p-q）要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知lg2=0.3010）
分析：（1）由b1=
a×
r
100
+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
(
4
5
r+
1
5
p)，b2=
a•b1+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)2r+
1
5
p+
4
52
p]，b3=
a•b2+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)3r+
1
5
p+
4
52
p+
42
53
p]，能求出bn的计算公式．
（2）bn=
r
100
(
4
5
)  n+
p
500
[1+
4
5
+(
4
5
)2+…+(
4
5
)n-1]=
r
100
(
4
5
)n+
p
500
•
1-(
4
5
)n
1-
4
5
=
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)，依题意有：
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)≥
q
100
，由此能求出至少要注入倒出4次．
解答：解：（1）b1=
a×
r
100
+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
(
4
5
r+
1
5
p)，
b2=
a•b1+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)2r+
1
5
p+
4
52
p]，
b3=
a•b2+
a
4
•
p
100
a+
a
4
=
1
100
[(
4
5
)3r+
1
5
p+
4
52
p+
42
53
p]，
∴bn=
1
100
[(
4
5
)nr+
1
5
p+
4
52
p+…+
4n-1
5n
p]．
（2）bn=
r
100
(
4
5
)  n+
p
500
[1+
4
5
+(
4
5
)2+…+(
4
5
)n-1]
=
r
100
(
4
5
)n+
p
500
•
1-(
4
5
)n
1-
4
5
=
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)，
依题意有：
p
100
-
1
100
(
4
5
)n(p-r)≥
q
100
，
∵p-r=2（p-q），
∴上式化简得：(
5
4
)n≥2，
∴n≥
lg2
1-3lg2
=
0.3010
1-3×0.3010
≈3.103，
∴至少要注入倒出4次．
点评：本题考查数列在生产实际中的具体应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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在一容器内装有浓度为r％的溶液a升，注入浓度为p％的溶液升，搅匀后再倒出升，这叫做第一次操作．设n次操作后容器内溶液的浓度为(每次注入的溶液的浓度p％)．计算，，并归纳出．
在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1,b2,b3,并归纳出bn的计算公式.

在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，并归纳出计算公式．
在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液升，搅匀后再倒出溶液升，这叫做一次操作．
（1）设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn（每次注入的溶液都是p%），计算b1，b2，b3，并归纳出bn的计算公式（不要求证明）
（2）设p＞q＞r，且p-r=2（p-q）要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知lg2=0.3010）

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