Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和圆C的半径；
（Ⅱ）求证：直线l过定点；
（Ⅲ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．

Answer 1

分析：（I）将圆的方程化为标准方程，可得圆C的圆心坐标和圆C的半径；
（Ⅱ）分离参数可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，再建立方程组，可得结论；
（Ⅲ）直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，由此可得结论．

解答：（I）解：圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，可变为：（x-1）²+（y-2）²=5²，
由此可知圆C的圆心C坐标为（1，2），半径为5．
（Ⅱ）证明：由直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，可得（2x+y-7）m+（x+y-4）=0
对于任意实数m，要使上式成立，必须

2x+y-7=0 x+y-4=0.

解得：

x=3 y=1.

…（6分）
所以直线l过定点A（3，1）．
（Ⅲ）解：直线l被圆C截得的弦最长时，圆心（1，2）在直线l上，圆C截得的弦为直径；当圆心C（1，2）与A（3，1）的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短
此时(-

1

2

)×(-

2m+1

m+1

)=-1，∴m=-

3

4

∵CA=

5

，圆的半径为5，
∴直线l被圆C截得的弦最短弦长为2

25-5

=4

5

．

点评：本题考查圆的方程，考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力．