Question

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a₁=1，（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n＞α；
（3）记（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）可求得；
（2）由f'（x）=2x+1，=，由基本不等式可知，依此有
（3），，数列{b_n}是等比数列，由其前n项和公式求解．
解答：解：（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），
∴；
（2）f'（x）=2x+1，
=，
∵a₁=1，
∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），
∴，同样，（n=1，2），

（3）
而α+β=-1，即α+1=-β，，
同理，
又
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，还考查了数列的递推与前n项和公式．