Question

使函数f(x)=log2(x+

1

x

)，x∈M的值域为[1，2]，则区间M可以是

[1，2+

3

]等

．

Answer 1

分析：先由x+

1

x

＞0求出函数的定义域，再根据对数函数和y=x+

1

x

的单调性、复合函数的单调性判断原函数的单调性，再由最值求出对应的x值，根据单调性确定出可能的区间，根据要求填写一个即可．

解答：解：令x+

1

x

＞0解得，x＞0，故函数的定义域是（0，+∞），
设t=x+

1

x

，由于x＞0，故t≥2，
∵t在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数；且函数y=log₂^x在定义域上是增函数，
∴f(x)=log2(x+

1

x

)在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，
∵f(x)=log2(x+

1

x

)，x∈M的值域为[1，2]，∴当x+

1

x

=2时，函数值为1；当x+

1

x

=4时函数值为2，
解得：x=1；x=2±

3

，
根据函数的单调性知，区间M可以是[1，2+

3

]或[2-

3

，1]，
故答案为：[1，2+

3

]．

点评：本题是一个开放性的题目，即根据要求选择正确答案中的一个即可，考查了对数函数的定义域、值域、单调性，对号函数的单调性和值域，复合函数的单调性问题，考查知识全面，有一定的难度．