Question

已知双曲线C₁：．
（1）求与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C₂的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C₁的两条渐近线于A、B两点．当时，求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定双曲线C₁：的焦点坐标，根据双曲线C₂与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C₂的标准方程；
（2）直线方程与双曲线C₁的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．
解答：解：（1）∵双曲线C₁：，
∴焦点坐标为（，0），（，0）
设双曲线C₂的标准方程为（a＞0，b＞0），
∵双曲线C₂与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，）
∴，解得
∴双曲线C₂的标准方程为
（2）双曲线C₁的两条渐近线为y=2x，y=-2x
由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）
由，可得x=-m，y=m，∴B（-m，m）
∴
∵
∴m²=3
∴
点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键．