Question

已知双曲线C1：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为2．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则抛物线C₂的方程为

x²=16y

．

Answer 1

分析：由题意可得双曲线的渐近线方程和离心率，可得b=

3

a，c=2a，由点到直线的距离公式可得p=

4c

a

，代入化简可得p值，进而可得方程．

解答：解：由题意可得双曲线C1：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)渐近线为y=±

b

a

x，
化为一般式可得bx±ay=0，离心率e=

c

a

=

a2+b2

a

=2，
解得b=

3

a，∴c=

a2+b2

=2a，
又抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，

p

2

），
故焦点到bx±ay=0的距离d=

ap

2 a2+b2

=

ap

2c

=2，
∴p=

4c

a

=

4×2a

a

=8，
∴抛物线C₂的方程为：x²=16y
故答案为：x²=16y

点评：本题考查双曲线与抛物线的简单性质，涉及离心率的应用和点到直线的距离公式，属中档题．