Question

已知向量（），向量，，
且.
（Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

Answer 1

（Ⅰ）∴    ……………6分
（Ⅱ）∴．

本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和差的三角函数关系式的运用。
（1）问中∵，∴，…………………1分
∵，得到三角关系是，结合，解得。
（2）由，解得，，结合二倍角公式，和,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴，即  ① …………2分
又 ②  由①②联立方程解得，，5分
∴    ……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，              ………8分
又∵，         ………9分
，           ……10分
∴．
解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分
又，∴，即，①……2分
又   ②
将①代入②中，可得  ③   …………………4分
将③代入①中，得……………………………………5分
∴  …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分
∴，从而.     …………………8分
由(Ⅰ)知， ；    ………………9分
∴.    ………………………………10分
又∵，∴， 又，∴   ……11分
综上可得 ………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.                                ……………8分
由(Ⅰ)知， .               …………9分
∴            ……………10分
∵，且注意到，
∴，又，∴  ………………………11分
综上可得                   …………………12分
（若用，又∵ ∴ ，