Question

对于使-x²+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做-x²+2x的上确界，若a，b∈R⁺，且a+b=1，则-

1

2a

-

2

b

的上确界为（　　）

• A、

  9

  2

• B、-

  9

  2

• C、-

  1

  4

• D、-4

Answer 1

分析：由题意可知，求的是

1

2a

+

2

b

的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．

解答：解：∵

1

2a

+

2

b

=

a+b

2a

+

2(a+b)

b

=

5

2

+

b

2a

+

2a

b

≥

5

2

+2 

b 2a • 2a b

=

9

2

，（当且仅当a=b=

1

2

时取到等号）
∴-

1

2a

-

2

b

≤-

9

2

（当且仅当a=b=

1

2

时取到上确界）
故选B．

点评：这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧．