Question

13．已知x＞$\frac{1}{2}$，当$\frac{2{x}^{2}-x+1}{2x-1}$取最小值时，x值是$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

Answer 1

分析 可得2x-1＞0，分离常数可得$\frac{2{x}^{2}-x+1}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$（2x-1）+$\frac{1}{2x-1}$+$\frac{1}{2}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞$\frac{1}{2}$，∴2x-1＞0
∴$\frac{2{x}^{2}-x+1}{2x-1}$=$\frac{\frac{1}{2}（2x-1）^{2}+\frac{1}{2}（2x-1）+1}{2x-1}$
=$\frac{1}{2}$（2x-1）+$\frac{1}{2x-1}$+$\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}（2x-1）•\frac{1}{2x-1}}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$
当且仅当$\frac{1}{2}$（2x-1）=$\frac{1}{2x-1}$即x=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$时取等号
故答案为：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，分离常数法变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．