Question

已知正方形ABCD到的顶点A、B在抛物线y²=x上，顶点C、D在直线y=x+4上，求正方形的边长．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB的方程为y=kx+b，根据直线AB与CD平行，利用两平行直线间的距离公式，得|BC|的表达式，联立直线AB与抛物线方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式，得|AB|的表达式，由|BC|=|AB|，得b的值，代入弦长公式或平行直线间的距离公式中，即得正方形的边长．

解答： 解：∵AB∥CD，由CD的方程y=x+4，
可设直线AB的方程为y=kx+b，A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），如右图所示．
联立y²=x，消去y，整理得x²+（2b-1）x+b²=0，
由韦达定理，得

x1+x2=1-2b x1x2=b2

，
由弦长公式，得|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(1-2b)2-4b2

=

2

•

1-4b

由题意，得直线AB与直线CD间的距离d=|BC|，
即

|b-4|

2

=

2

•

1-4b

，两边平方，化简、整理，得b²+8b+12=0，从而b=-2，或b=-6．
当b=-2时，|AB|=

2

•

1-4(-2)

=3

2

，当b=-6时，|AB|=

2

•

1-4(-6)

=5

2

，
即正方形ABCD的边长为3

2

或5

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线的相交关系，两直线的平行关系，解决此类问题的一般步骤是：
（1）设直线方程及交点坐标；
（2）联立直线方程与圆锥曲线方程，根据题设条件进行变形、化简，得等量关系；
（3）求解参数．