Question

16．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则用基底$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{c}$为$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$$-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$，带入向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$从而可得到$\overrightarrow{c}=（λ+μ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（λ-μ）\overrightarrow{{e}_{2}}$，这样根据平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=-1}\\{λ-μ=2}\end{array}\right.$，这样解出λ，μ，便可以用基底$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{c}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线；
∴设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}=λ（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）+μ（\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$（λ+μ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（λ-μ）\overrightarrow{{e}_{2}}$；
又$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴根据平面向量基本定理：$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=-1}\\{λ-μ=2}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}$．
故答案为：$\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}$．

点评 考查平面向量基本定理，向量的加法、减法，及数乘运算，注意需说明$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线．