题目内容

当x＞0时,证明不等式ex＞1+x+x2.

证明:设f(x)=ex-1-xx2,f′(x)=ex-1-x,下面证明g(x)=ex-1-x在x＞0时恒为正.

∵g′(x)=ex-1,若x＞0时,g′(x)＞0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,当x＞0时,g(x)＞g(0)=0,

即f′(x)在(0,+∞)上恒为正,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(0)=e0-1-0-0=0,∴x＞0时,f(x)＞f(0)=0,

即ex＞1+x+x2成立.

练习册系列答案
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设f(x)=
2-x+a
1+x
（a为实常数），y=g（x）与y=e-x的图象关于y轴对称．
（1）若函数y=f[g（x）]为奇函数，求a的取值．
（2）当a=0时，若关于x的方程f[g(x)]=
g(x)
m
有两个不等实根，求m的范围；
（3）当|a|＜1时，求方程f（x）=g（x）的实数根个数，并加以证明．
已知函数f(x)=(
1
3
x3+ax2+bx-
1
3
)ex（a∈R，b∈R）在区间（-1，0）上存在单调递减区间，且f（x）=0三个不等实数根为1，α，β，且α＜β．
（1）证明：a＞-1
（3）在（1）的条件下，证明：α＜-1＜β
（6）当a=
1
3
时，x∈[-1，2]，求函数y=f（x）的最大值．
已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=
2x-k
x2+1
的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=x3-3m2x+
3
5
 (-
1
2
≤x≤
1
2
， 0＜m＜
1
2
)，若对任意的x1∈[-
1
2
，
1
2
]，总存在x2∈[-
1
2
，
1
2
]，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．
已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数，若对任意的，总存在，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．
已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数，若对任意的，总存在，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．

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