Question

已知函数f(x)=(

1

3

x3+ax2+bx-

1

3

)ex（a∈R，b∈R）在区间（-1，0）上存在单调递减区间，且f（x）=0三个不等实数根为1，α，β，且α＜β．
（1）证明：a＞-1
（3）在（1）的条件下，证明：α＜-1＜β
（6）当a=

1

3

时，x∈[-1，2]，求函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0可得b=-a，代入f（x）表达式，函数y=f（x）在（-1，0）上存在单调递减区间，即f′（x）≤0x∈（-1，0）时有解，分离出参数转化为函数最值问题可解；
（2）设f（x）=

1

3

(x-α)(x-1)(x-β)，展开后对比系数可得α，β与a的关系：αβ=1，α+β=-3a-1，结合a＞-1可证明结论；
（3）当a=

1

3

时可求得f′（x），利用导数可判断f（x）在[-1，2]上有唯一极小值，从而最大值在区间端点处取得，通过计算对比可求；

解答：解：（1）∵f（1）=0，∴b=-a，
∴f(x)=(

1

3

x3+ax2-ax-

1

3

)ex，
∴f/(x)=(

1

3

x3+ax2-ax-

1

3

+x2+2ax-a)ex，
又函数y=f（x）在（-1，0）上存在单调递减区间，
∴f/(x)=(

1

3

x3+ax2-ax-

1

3

+x2+2ax-a)ex≤0，即a(x2+x-1)≤-

1

3

x3-x2+

1

3

在x∈（-1，0）时有解，
∴当x∈（-1，0）时，a≥

- 1 3 x3-x2+ 1 3

x2+x-1

，
又

- 1 3 x3-x2+ 1 3

x2+x-1

=-

1

3

[3+

(x+2)(x-1)2

x2+x-1

]＞-1，
∴a＞-1；
（2）证明：设

f(x)=( 1 3 x3+ax2-ax- 1 3 )ex= 1 3 (x-α)(x-1)(x-β)ex = 1 3 [x3-(α+β+1)x2+(α+β+αβ)x+αβ]ex

∴-

1

3

(α+β+1)=a，

1

3

(α+β+αβ)=-a，

1

3

αβ=

1

3

．即αβ=1，α+β=-3a-1，
由（1）知：a＞-1，∴-3a-1＜2，
∴αβ=1，α+β＜2，α+

1

α

＜2，
∴α＜0，同理β＜0，∴α＜-1＜β；
（3）当a=

1

3

时，f(x)=(

1

3

x3+

1

3

x2-

1

3

x-

1

3

)ex，
∴f/(x)=

1

3

(x3+x2-x-1+3x2+2x-1)ex=

1

3

(x3+4x2+x-2)ex，
令g（x）=x³+4x²+x-2，g'（x）=3x²+8x+1，
h（x）=3x²+8x+1，知h（x）在[-1，2]递增，g（x）在[-1，

13 -4

3

]上递减，在[

13 -4

3

，2]上递增，
又g（-1）=0，g（2）＞0，所以存在唯一x0∈(

13 -4

3

，2)，使g（x₀）=0，
∴f（x）在（-1，x₀）上递减，在（x₀，2）上递增，且f（-1）=0，f（2）=3e²，
∴f（x）的最大值为3e²．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．