Question

设f(x)=

2-x+a

1+x

（a为实常数），y=g（x）与y=e^-x的图象关于y轴对称．
（1）若函数y=f[g（x）]为奇函数，求a的取值．
（2）当a=0时，若关于x的方程f[g(x)]=

g(x)

m

有两个不等实根，求m的范围；
（3）当|a|＜1时，求方程f（x）=g（x）的实数根个数，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数y（0）=0即可求出；
（2）将问题转化为关于t的一元二次方程有两个不等正实数根即可求出；
（3）将方程的实数根问题转化为利用导数研究函数的交点问题即可．

解答：解：（1）∵y=g（x）与y=e^-x的图象关于y轴对称，∴g（x）=e^x．
∴y=f（g（x））=

2-ex+a

1+ex

为奇函数，
∴f（g（0））=

2-1+a

1+1

=0，解得a=-1．
经检验a=-1满足条件．
（2）当a=0时，方程f（g（x））=

g(x)

m

可化为（e^x）²+（1+m）e^x-2m=0．
由题意知：此方程有两个实数根．
令e^x=t，则方程t²+（1+m）t-2m=0有两个不等正实数根．
∴

△=(1+m)2+8m＞0 t1+t2=-(1+m)＞0 t1t2=-2m＞0

，解得m＜-5-2

6

．
（3）方程f（x）=g（x）可化为e^x+1=

3+a

1+x

．
当|a|＜1时，方程ex+1=

3+a

1+x

由唯一实数根．
证明：分别令h（x）=e^x+1，u（x）=

3+a

1+x

（x≠-1）．
可知函数h（x）在R上单调递增，且h（0）=2．
∵|a|＜1，∴3+a＞0，
∴u′(x)=

-(3+a)

(1+x)2

＜0，
即函数u（x）分别在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
根据上面的分析画出图象：
由图象可知：只有当x＞-1时，函数u（x）与h（x）只有一个交点．
即方程f（x）=g（x）只有一个实数根．

点评：熟练掌握函数的奇偶性、单调性及“三个二次”的关系是解题的关键．注意导数的应用．