题目内容
2．已知函数g（x）=lnx-mx2-nx（m，n∈R）在x=2处取得最大值，则m的取值范围为（ ）| A． | （-$\frac{1}{8}$，0）∪（0，+∞） | B． | （-$\frac{1}{8}$，+∞） | C． | （-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$） | D． | （0，+∞） |
分析 求出g（x）的导数，由g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值，即有g′（2）=0，即n=$\frac{1}{2}$-4m，运用韦达定理求得1-2mx2-nx=0的另一个根，讨论m的范围，即可得到所求范围．
解答 解：函数g（x）=lnx-mx2-nx的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-2mx-n，
由g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值，
即有g′（2）=0，即n=$\frac{1}{2}$-4m，
由1-2mx2-nx=0的一个根为2，
由韦达定理可得另一个根为-$\frac{1}{4m}$，
当m＞0时，-$\frac{1}{4m}$＜0，g′（x）=0的根为2，
即有x=2取得极大值，也为最大值；
当m＜0时，-$\frac{1}{4m}$＞2，解得-$\frac{1}{8}$＜m＜0，g（x）存在极大值和极小值，
x=2为最大值点．
当m=0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$，可得g（x）在x=2处取得最大值，也为极大值．
综上可得m的范围为m＞-$\frac{1}{8}$．
故选B．
点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，注意运用函数在某个区间只有一个极值，即为最值的结论是解题的关键．
练习册系列答案
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（2）若从该市干部中，随机抽取5人，求抽取的是“人民楷模”的人数ξ的数学期望．
| 成绩 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100） | 合计 |
| 等级 | E | D | C | B | A | |
| 频数 | 2 | 24 | 36 | 30 | 8 | 100 |
| 频率 | 0.02 | 0.24 | 0.36 | 0.3 | 0.08 | 1 |
（2）若从该市干部中，随机抽取5人，求抽取的是“人民楷模”的人数ξ的数学期望．